В работе рассматриваются некоторые дробно-иррациональное выражение, и доказывается утверждение приводящие их к дробно-рациональным выражениям, а также рассматривается одна общая оценка снизу и сверху (двухсторонняя оценка) для одного числового ряда. При получении некоторых равенств мы воспользовались формулой для биномиальных коэффициентов, затем из суммы левой части сокращали между собой, а слагаемы с четными номерами, где всюду в четной степени в нечетной степени удваиваются и после вывода за скобки множителя все слагаемые остаются свободными от квадратного корня. Рассматриваются несколько вариантов доказательств при решении некоторых задач и теорем.

На современном этапе научно-технического прогресса и бурного развития промышленного производства проблема охраны окружающей среды становится проблемой. Загрязнение атмосферного воздуха оказывает серьезное влияние на здоровье человека, глобальные и региональные климатические условия. Основными видами загрязняющих веществ являются газообразные вещества. Когда топливо сгорает, окись углерода выделяется во время движения транспорта. Это очень токсичный газ. Кровь легко взаимодействует с гемоглобином и продолжает функционировать, поэтому важно снизить выбросы токсичных веществ транспортными средствами и производственными объектами.