В работе рассматриваются некоторые дробно-иррациональное выражение и доказывается утверждение приводящие их к дробно-рациональным выражениям а также рассматривается одна общая оценка снизу и сверху (двухсторонняя оценка) для одного числового ряда.

В работе рассматриваются некоторые дробно-иррациональное выражение, и доказывается утверждение приводящие их к дробно-рациональным выражениям, а также рассматривается одна общая оценка снизу и сверху (двухсторонняя оценка) для одного числового ряда. При получении некоторых равенств мы воспользовались формулой для биномиальных коэффициентов, затем из суммы левой части сокращали между собой, а слагаемы с четными номерами, где всюду в четной степени в нечетной степени удваиваются и после вывода за скобки множителя все слагаемые остаются свободными от квадратного корня. Рассматриваются несколько вариантов доказательств при решении некоторых задач и теорем.

Ислам діні адам өмірінің теологиялық, құқықтық және этикалық қабаттарын қамтиды. Адам өмірінің барлық салаларында орын алатын құқықтық мәселелер, пайғамбар заманында уахи арқылы, яғни Құран аяттарымен және пайғамбар үкімімен шешімін тауып отырды. Бұл кезеңде үкім шығару тәсілдері мен қағидаларын қолдануға қажеттілік туындамады. Сахабалар дәуірінде пайғамбардың көзі тірісінде орын алмаған жайттар мен сұрақтар туындап, адамдар арасында пәтуа мен үкім беру міндетінжекелеген сахабалар атқарды. Олар Құран мен сүннет тілі болған – араб тілін, аяттардың түсуі (нузул) мен хадистердің айтылу себептерін (уруд) және шариғаттың асыл мақсаттарын жақсы білді. Өйткені сахабалар ерекше қабілетке ие болумен қатар, олар ұзақ уақыт Аллаһ елшісімен бірге өмір сүріп, аят-сүрелердің түсу барысына, хадистердің айтылу себептеріне куә болды. Сонымен қатар олар үкімі діни мәтіндерде нақты келмеген мәселелерде ыждағатпен шешім шығара білді. Осылайша бұл кезеңдегі құқықтық негіздерді: Құран, сүннет және сахаба ыждағаты құрады. Табиғин және олардан кейінгі буын өкілдерінің кезінде де бұл үрдіс жалғасын тауып, ислам мемлекетінің кең етек жаюы себепті, адамдар арасында түрлі сұрақтар мен мәселелер туындады, пікірталастар артты. Оған Сағид ибн Мусайяб, Уруа ибн Зубәйр, Қазы Шурайх пен Ибраһим ибн ән-Нахаи сынды табиғин дәуірінің мужтаһидтері ғылыми негіздерге сүйене отырып шешімдерін айтып отырды. Алайда барлық ғалымдардың үкім шығару методологиясы бірдей болмады. Үкім шығаруда қолданылатын қағидалардың бірі мәфхум әл-мухалафа қағидасын дәлел ретінде қолдану жайлы да усуль ғалымдары арасында көптеген көзқарастар айтылады. Солардың ішінен алып қарастыратын мәселе Ханафи мазхабы мен мутакаллимдердің мәфхум әл-мухалафа қағидасын алып, алмауын қарастырамыз. Сонымен қатар ол қағиданың үкімге әсері жайлы да бірнеше мысалдар келтіріледі.