В работе рассматриваются некоторые дробно-иррациональное выражение, и доказывается утверждение приводящие их к дробно-рациональным выражениям, а также рассматривается одна общая оценка снизу и сверху (двухсторонняя оценка) для одного числового ряда. При получении некоторых равенств мы воспользовались формулой для биномиальных коэффициентов, затем из суммы левой части сокращали между собой, а слагаемы с четными номерами, где всюду в четной степени в нечетной степени удваиваются и после вывода за скобки множителя все слагаемые остаются свободными от квадратного корня. Рассматриваются несколько вариантов доказательств при решении некоторых задач и теорем.

Процессы модернизации экономики в практическом решении должны раскрывать общее взаимопонимание между институциональными, законодательными и производственными отношениями, сущность организационных преобразований, формулировку базовых положений по инструментальному обеспечению независимого перехода технологических процессов на новый виток социально‑экономических связей. В основу процессов должны быть положены новые характеристики стандартизации, методологии функционирования системы, технических условий, норм, правил, инструкций и положений, что предусматривает внесение институциональных изменений. Цель статьи – исследовать новые тенденции цифровой трансформации мировой экономики, а также показать, что задачи и установки вектора технологических процессов цифровой экономики выходят далеко за пределы известных принципов экономического развития, вливаясь в русло общемировых тенденций. Теоретической и методологической основой исследования послужили концепции, гипотезы и теории, представленные в работах отечественных и зарубежных учёных и экспертов. Методология основана на системном подходе, в рамках которого были применены методы сравнительного, факторного, субъектно-объектного, структурно-функционального, статистического, корреляционного анализа и экстраполяции. В ходе исследования проведен аналитический обзор теоретических подходов зарубежных экономистов по данной проблеме, который позволил автору выявить теоретико-методологические и прикладные основы для определения направлений в рамках государственной стратегии планирования социально-экономического развития. Оценивается научная дискуссия относительно условий смены модели экономического развития, модернизации экономики с переходом на платформы первого и второго поколения, именуемые в дальнейшем экосистемами. Определены принципиальные отличия теоретической аргументации сторонников продвигаемых цифровых технологий и их оппонентов. Проанализированы позиции аргументации воздействия на изменение движущих факторов с целью корректировки методов государственной политики и выбора вектора технологических процессов. Рассмотрен вопрос о корреляции макроэкономической теории в эволюционном смысле, выходящей за пределы известных принципов экономической мысли цифровой трансформации.